Autor: Miroslav Šulc

Znázornění kosmických rychlostí.

K tomuto cíli je třeba uvést související fyzikální pojmy a důležité hodnoty.

1. Pojmy z mechaniky

1. 1. Potenciální (polohová) energie

Tělesu o hmotnosti  m,  které se nalézá v homogenním tíhovém poli s tíhovým zrychlením  g  ve výšce  h  nad zvolenou základní rovinou přísluší potenciální energie

E_p = m g h ,

která se při volném pádu (bez odporu vzduchu) mění na jiný druh energie, a tím je kinetická (pohybová energie). Konstanta  g  se nazývá normální tíhové zrychlení a má dohodnutou velikost  g = 9,80665 m.s^-2.

1. 2. Kinetická (pohybová) energie

Těleso o hmotnosti m, které se pohybuje rychlostí v, má kinetickou energii

E_k = m v²/2 .

Tato energie se může také měnit na jiné druhy energie včetně nemechanických (např. tepelnou).

1. 3. Pohyb po kružnici

Pohyb tělesa o hmotnosti m po kružnici o poloměru r je zapříčiněn dostředivou silou o velikosti

F_d = m v²/ r .

2. Pojmy z teorie gravitačního pole

2. 1. Newtonův gravitační zákon:

Každá dvě tělesa na sebe působí stejně velkými opačnými gravitačními silami. V případě, že tělesy jsou tuhé, stejnorodé koule o hmotnostech m₁, m₂, je velikost těchto sil udána vztahem

F_g = κ m₁ m₂ / r² ,

kde r je vzdálenost středů těchto koulí a κ = (6,67428 ± 0,00067) . 10^-11 N.m².kg^-2 (nebo také m³.kg^-1.s^-2) je Newtonova gravitační konstanta.

2. 2. Potenciální energie tělesa v centrálním gravitačním poli.

Centrální gravitační pole je vytvořeno hmotným bodem, případně tuhou homogenní koulí. V centrálním gravitačním poli se nedá potenciální energie tělesa vypočítat podle vztahu v bodě 1. 1, nýbrž podle vztahu

E_p = -κ m₁ m₂ / r .

Na rozdíl od předešlých vztahů se tento ve středoškolské fyzice nezavádí, neboť je odvoditelný pouze integrací. Přitom je stanoveno dohodou, že dvě nekonečně vzdálená tělesa mají nulovou potenciální energii. Proto nás nesmí překvapit, že potenciální energie soustavy přitahujících se těles je záporná. S rostoucí vzdáleností těles roste E_p směrem k nule.

3. Pojmy z teorie gravitačního pole

3. 1. Země

Hmotnost   m_Z = 5,9736 . 10²⁴ kg
Poloměr   r_Z = 6,371 . 10⁶ m   (Zemi považujeme za kouli)
Poloměr kruhové dráhy Země je R_Z = 1,496 . 10¹¹ m
Součin   κ m_Z = 3,987 . 10¹⁴ m³.s^-2

3. 2. Slunce

Hmotnost   m_S = 1,9891 . 10³⁰ kg
Součin   κ m_S = 1,3276 . 10²⁰ m³.s^-2

4. Kosmické rychlosti

Tyto pojmy mají čistě teoretický význam, neboť při jejich zavádění zanedbáváme tyto skutečnosti: Ve všech případech existenci zemské atmosféry, v případě pohybů kolem Země také existenci Slunce. Rovněž zanedbáváme hmotnost obíhajícího tělesa (tedy obvykle družice) vůči hmotnosti tělesa centrálního.

4. 1. První kosmická rychlost v_I

Jedná se o rychlost potřebnou k tomu, aby se družice Země o hmotnosti m udržela na kruhové dráze těsně při povrchu Země. Výchozím vztahem je tvrzení, že dostředivá síla je představována silou gravitační, tedy

F_d = F_g

a po dosazení podle výrazů z 1. 3 a 2. 1

m v_I² = κ m_Z m / r_Z² ,

což vede k výsledku

v_I = √(κ m_Z / r_Z ) .

Dosadíme-li pak číselné hodnoty z 3. 1, máme

v_I = 7,911 . 10³ m.s^-1 .

Místo „první kosmické rychlosti“ se používá pojem „rychlost kruhová“ při povrchu Země ( v_k ). Uvedený postup je běžně uváděn ve středoškolské fyzice.

4. 2. Druhá kosmická rychlost v_II

Jedná se o rychlost potřebnou k tomu, aby družice opustila natrvalo gravitační pole Země (existence Slunce se neuvažuje). Jinými slovy – družice je schopna odletět od Země do nekonečna, kde se teprve může „zastavit“. Podle 2. 2 je její potenciální energie v nekonečnu nulová, kinetická rovněž, tedy součet obou je nulový, což ovšem musí platit na celé trajektorii (zákon zachování mechanické energie), tudíž i při startu z povrchu Země:

E_k + E_p = 0

tedy

m v_II² / 2 – κ m_Z m / r = 0.

Řešením rovnice obdržíme

v_II = √(2 κ m_Z / r_Z ) = v_I √2 .

Po dosazení číselných hodnot máme

v_II = v_I √2 = 11,19 . 10³ m.s^-1 .

Poněvadž družice teoreticky odlétá po parabolické trajektorii, nazývá se nyní v_II „parabolickou rychlostí“ při povrchu Země nebo rychlostí únikovou ( v_p ). Její hodnota se ve středoškolské fyzice „předkládá k věření“ (pro nemožnost odvození výrazu pro E_p ).

5. Rychlosti při pohybu kolem Slunce

Pro zavedení třetí kosmické rychlosti je třeba nejprve vypočítat kruhovou a parabolickou rychlost při pohybu kolem Slunce ve vzdálenosti Země od Slunce.

5. 1. Kruhová rychlost

Pro kruhovou rychlost platí  v_k = √(κ m_S / r_Z ) = 29,79 . 10³ m.s^-1 .

To je také průměrná rychlost Země (její hmotnost se v této úvaze zanedbává vůči hmotnosti Slunce) při oběhu kolem Slunce.

5. 2. Parabolická rychlost

Pro parabolickou rychlost platí  v_p = v_k √2 = 42,13 . 10³ m.s^-1 .

6. Třetí kosmická rychlost v_III

Jedná se o rychlost, kterou musíme udělit družici na povrchu Země, aby opustila trvale sluneční soustavu (vliv planet neuvažujeme). V tomto případě jsou úvahy poněkud odlišné.

Především je při vypouštění družice optimální využít rychlost Země. Budeme ji tedy vypouštět (opět jen teoreticky) ve směru rychlosti Země. Tím pádem jí není nutno udílet rychlost 42,13 km.s^-1, ale pouze (42,13 – 29,79) km.s^-1 = 12,34 km.s^-1. To ale není ještě správná hodnota, neboť jsme neuvažovali vliv gravitačního pole Země. Družici musíme dodat navíc ještě energii na překonání přitažlivosti Země. Poněvadž kinetická energie tělesa je přímo úměrná druhé mocnině jeho rychlosti, musíme sčítat druhé (nikoliv prvé!) mocniny hodnot rychlostí a výsledkem je druhá mocnina třetí kosmické rychlosti. Dostáváme:

v_III = √2 (12,34² + 11,19²) km.s^-1 = 16,66 . 10³ m.s^-1

Vzhledem k složitější povaze věci se třetí kosmická rychlost ve středoškolské fyzice nezavádí.

Doplňující literatura (překračuje obvyklý rozsah středoškolské fyziky, pozn. redakce)

HACAR, Bohumil: Mechanika sluneční soustavy, Brno 1942
TILLICH, Josef: Klasická mechanika, Universita Palackého, Olomouc 1966